居酒屋をはじめました。
従業員は身内４人とバイト１人です
雇用保険をかけたいのですが、どこに言えばいいんでしょうか？
手順を教えてください。

その前に監督署に届けをしてますか？労働者を一人でもやとったら労災の加入の義務があります。監督署に行って成立届けと労働保険料概算保険料算出書を提出しましょう。その成立届けの控えを持って、その後ハローワークに行って、加入する人の初出勤のわかるもの（出勤簿）と労働者名簿と社印を持って加入届と成立届けの提出をして下さい。

雇用保険被保険者離職証明書とは会社側がハローワークへ提出するものですか？
それとも会社に書いてもらい私がハローワークへ提出するものなのですか？

離職証明書は質問者さんのとおり、会社がハローワークへ提出するものです。提出後にもらうのが、「離職票」になります。

転職届けについて
自営業で料理店をしています。

今度、中国人のコックを雇うことになりました。

転職届けが必要なのですが、どのような書類が必要ですか？

お店が用意するもの、コックさんが用意する物を教えて下さい。

後、揃ったら、入国管理局に持って行くのでしょうか？

宜しくお願いします。

そのコックさんが、外国人登録の際に既に登録してある事業所や職業から転職したことの届けのことでしょうか。
それでしたら、既に登録してある事業所の名称・その住所、職業の変更ですから、本人が外国人登録をしている役所に変更登録申請書と雇い主である質問者さんが発行した身分証明書や雇用証明書を持って行って手続きをします。詳しくは市区役所の外国人登録窓口で聞くと良いと思います。

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